Home Matemática 03 (médio) Exercícios sobre números complexos
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Sáb, 18 de Setembro de 2010 08:26

NÚMEROS COMPLEXOS

 

I) RESUMO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS

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A) ESTUDO ALGÉBRICO OU ANALÍTICO

1) Definição: são os números da forma z = a + b.i onde "a" é a parte real e "b" a parte imaginária. Temos i 2 = - 1 em

que "i" é chamado de unidade imaginária.

 

2) As partes do número complexo e as condições aplicadas nelas

a) Se a = 0, então z é imaginário puro;

b) Se b = 0, então z é real;

c) Se  a = 0 e b = 0, z é nulo.

 

3) Igualdade de números complexos

Sendo a + b.i = c + d.i, então a = c e b = d

4) Número complexo conjugado

Se z = a + bi, então z' = a - bi é chamado de conjugado de z. Este pode ser usado na divisão de números complexos.

5) Operação com númereja os complexos

Sejam z1 = a + bi, z2 = c + di e z3 = e + fi

a) adição e subtração

z1 + z2 + z3 = ( a + c + e) + (b + d + f)i

b) multiplicação

z1 x z2 = (a.c - b.d) + (a.d + b.c)i

c) Divisão

z1/z2 = z1 . z'2 / z2 . z'2

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B) ESTUDO TRIGONOMÉTRICO

1) Forma polar dos números complexos

z = ρ.(cosθ + i.senθ) onde ρ2 = a2 + b2 com "a" e "b" originado de z = a + b.i

 

2) Primeira fórmula de Moivre (potenciação)

zn = ρn [cos(nθ) + i.sen(nθ)]

 

3) Segunda fórmula de Moivre (radiciação)

uk = n√ρ [cos(θ + 2kπ)/n + i.sen(θ + 2kπ)/n] onde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... e n = N-ésima raiz.

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II) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E REVISÃO

1) Sendo i a unidade imaginária de um complexo, calcule os valores abaixo para que i2 = - 1:

a) i3 + i4

b) i81

c) i2003

d) i + i2 + i3 + i4 + i5 ......+ i2003

 

2) Considere os números complexos z1 = 3 + 4i, z2 = -8 + 10i e z3 = 12 - 7i. Calcule:

a) z1 +  z2 +  z3

b) z1 -  z2 +  z3

c) z1 +  5z2 -  3z3

d) z41 +  z2 +  2z3

e) - z1 +  z2 -  7z3

f) z1 .  z2

g) z1 .  z2 .  z3

h) z1 /  z2

 

3) Calcule k para que z = (2k - 8) + (- 7 +14k)i seja:

a) um nímero real

b) um número complexo puro

 

4) Callcule z em cada caso abaixo, com z = a + bi, para que se tenha:

a) (z - 2i) + 3 - 5i = 5z -9i - (-1 +12i)

b) (z + 2i) + 9 - 7i = 5z -9i + 6(z + 9i)

c) (z - 2i) + 3 - 5i = (3 -2i).(3 + 2i)

d) (8( - 2i) / (3 - 5i) = (2z + 4i).(-3 +8i)

 

5) Se P = 3(i + i2 + i3 + i4 + i5 ......+ i2003) + (2 - k) + 8ki, calcule k para que:

a) P seja um número real

b) P seja imaginário puro

 

6) Se w = [(2k + 3i) / (4 -5i)] + 8 + 3ki, então calcule k para que se tenha:

a) w como sendo um número real

b) w com um número imagiário puro

 

7) Transforme os números complexos abaixo da forma algébrica para a forma trigonométrica:

a) z4 = 2 + 2i

b) z5 = 2 - 2i

c) z6 = - 2 + 2i

d) z7 = -2 - 2i

e) z8 = √3 + i

f) z9 = √3  - i

g) z10 = - √3 + i

h) z11 = - 1 + √3 i

 

8) Calcule as potências com os números complexos abaixo:

a) (2 + 2i)2

b) (2 - 2i)3

c) (- 2 + 2i)4

d) (-2 - 2i)16

e) (√3 + i)20

f) (√3  - i)60

g) (- √3 + i)800

h) (- 1 + √3 i)1200

 

9) Calcule as raízes dos números complexos abaixo:

a) (- 1 + √3 i)1/3

b) (2 + 2i)1/2

c) (2 - 2i)1/3

d) (- 2 + 2i)1/2

e) (-2 - 2i)1/2

f) (√3 + i)1/4

g) (√3  - i)1/2

h) (- √3 + i)1/3

i) (- 1 + √3 i)1/3

Última atualização em Dom, 05 de Janeiro de 2014 15:12