Home Matemática 03 (médio) Exercícios sobre polinômios
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Sáb, 18 de Setembro de 2010 11:43

POLINÔMIOS

 

I) RESUMO DE POLINÔMIOS

1) Definição de função polinominal: são as funções do tipo P(x) = anxn + an - 1x n - 1 + an - 2xn - 2 +....+ao

2) Zero da função polinominal: são os valores de x tal que P(x) = 0

3) Identidade de polinômios:

a) Polinômio identicamente nulo

Ocorre quando an = an-1 = an-2 = an-3 =........= ao = 0

b) Polinômios identicos:

P(x) = anxn + an - 1x n - 1 + an - 2xn - 2 +....+ao e

Q(x) = bnxn + bn - 1x n - 1 + bn - 2xn - 2 +....+bo

Se P(x) = Q(x), então

an = bn

an-1 = bn-1

an-2 = bn-2

ao = bo

 

4) Algoritmo da divisão

Quando um polinômio D(x) é dividido por outro polinômio d(x) e obtém-se um polinômio Q(x) e resto R(x), tal que:

a) D(x) = Q(x) . d(x) + R(x)

b) Grau[Q(x)] = grau[D(x)] - grau[d(x)]

c) Grau[R(x)] < grau[Q(x)]

 

5) Teorema do resto

O resto de um polinômio P(x) dividido pelo binômio (x - a)  é R = P(a)

 

6) Teorema de D'Alemberg

Se P(x) for divisível por (x - a) então P(a) = 0

 

7) Relações de Girard

Vamos aplicar, por exemplo, no polinômio ax3 + bx2 + cx + d = 0, mais vale para polinômio de qualquer grau.

Suponha que as raízes sejam  m, n e p:

m + n + p = -b/a

mn + mp + np = c/a

m.n.p = -d/a

 

8) Dispositivo de Briot - Ruffini

Apesar ser usado para várias situações, ele é empregado principalmente para se descobrir as raízes de um polinômio de grau n as custas da redução do grau deste polinômio a partir de alguma(s) raíz(es) dada(s).

 

 

II) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E REVISÃO


1)Marque com P as alternativas que constituem função polinominal e com N as que não são:

a) (  ) P(x) = 3x3 - 5x2 +2x - 1

b) (  ) P(x) = 3x3 - 5x-2 +2x - 7

c) (  ) P(x) = 3x3 - 5x2 +2xy - 3

d) (  ) P(x) = 3x3 - 5x2 +2x - 1/x

e) (  ) P(x) = (2x - 9).(4 - x2)

f) (  ) P(x) = (13x - 4).(x-2 +2)

g) (  ) P(x) = 3x3 - 5x2 +2x - 1

 

2) Calcule m, n, k  ou ω  nos poliinômios seguintes:

a) (m - 4)x3 + (2m + 3n - 8)x2 + (n - ω)x + k - 5 Ξ 0

a) (m - 2)x3 + (2m + n -9)x2 + (- n + 3ω)x + 2k - 8 Ξ 0

a) (2m - 4)x3 + (3m + 2n - 12)x2 + (3n + ω)x  + k + 1 Ξ 0

a) (3m - 15)x3 + (m + n - 10)x2 + (6n - 2ω)x + (k - 3) Ξ 0

 

3) Considere as identidades de  polinômios abaixo:

a) (m2 - 9)x3 + (2n + m - 10)x2 + (p - 2m)x + (q- 8) = 16x3 -7x2 + 10x - 2

b) (ω- 9)x3 + (2ψ + ω - 10)x2 + (ξ - 2)x + (Σ- 8) = 16x3 -7x2 + 10x - 2

Calcule  ω, ψ, ξ e Σ.

 

4) Dado P(x) = (m2 - 9)x2 + (m + 3)x + 5. Calcule o valor de m para que P(x) seja:

a) um polinômioi do 2º grau;

b) um polinômio do 1º gra

c) uma função constante

 

5) Considere os polinômios abaixo:

A(x) = x3 + 6x2 - 12x + 20

B(x) = 6x2 - 8x + 11

C(x) =  x - 2

D(x) = x3 + 2x2 - 8x + 12

Calcule:

a)  A(x) + B(x) + C(x)

b) A(x) - D(x)

c) X(x) . C(x)

d) A(x) : C(x)

 

6) As raízes de P(x) = 2x3+  8x2 - 4x 14 são α, β e γ. Calcule:

a) α + β + γ

b) α . β . γ

c) αβ + αγ + βγ

d) α-1 + β-1 + γ-1

e) α-2 + β-2 + γ-2

 

7) Se 1 é uma das raízes de Q(x) = x3 - 5x2 +7x - 3 e as outras duas raízes são m e n, então a m2 + n2 é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

 

8) A equação polinominal  ax3 + bx2 + cx + d = 0, de acordo com um dos teoremas fundamentais da álgebra,  apresenta:

a) Três raízes reais

b) pelo menos uma raiz real

c) Três raìzes complexas;

d) uma raíz real e duas complesxas

e) duas raízes reais e uma complexa

 

9) O polinômio P(x) = 2x3 - 4x2 + 6x -10 dividido por d(x), obtém-se quociente x2 - 3x + 1 e resto 20. Deternine d(x).

 

 

10) O resto da divisão de P(x) = 4x3 - 6x2 + 4x + 3k por x -2 é 15. Calcule P(-1) + 5.P(3)

 

11) A(x) = 2x3 - 7x2 +6x -9k  é divisível por x + 2. Determine:

a) A(3)

b) o quociente Q(x)

 

12) Se -3 é uma das raízes do polinômio Q(x) = x4 -3x3 - 2x2 +6x + 2m, calcule:

a) a soma das raízes

b) o produto das raízes

 

13) Um polinômio P(x) dididido por x - 3 dá resto -2 e dividido por x + 1 dá resto 6. Cancule o resto de P(x) quando dividido por (x - 3).(x + 1).

Última atualização em Seg, 06 de Janeiro de 2014 22:13