Home Matemática 02 (médio) Resumo e exercícios de geometria espacial
Resumo e exercícios de geometria espacial PDF Imprimir E-mail
Sáb, 29 de Janeiro de 2011 14:34

GEOMETRIA ESPACIAL

I) RESUMO

 1º) Prismas

A) Prismas regulares

Descrição Área da base Apótema Área da face Área lateral Área total Volume
Base triangular regular
        L2 √3
AB = ———
         4
      L√3
m =——
        6
 AF = L. h  AL = 3AF  AT= 2AB + AL   V= AB.h
Base quadrangular AB = L2
        L
m = ——
        2
  AF = L. h  AL = 4AF  AT= 2AB + AL  V= AB.h
Base hexagonal regular
       6L2 √3
A = ———
        4
     L√3
m =——
       2
  AF = L. h  AL = 6AF  AT= 2AB + AL  V= AB.h

L = aresta da base          h = altura      m = apótema da base

 B) Prismas especiais

 

Descrição Diagonal Área lateral Área total Volume
Paralelepípedo D2 = a2 + b2 + c2 AL = a(ab + bc) AT = a(ab + ac + bc)  V = abc
Cubo  D = a√3  AL = 4a2  AT = 6a2  V = a3

 

2º) Pirâmides

a) Pirâmides regulares

Desctrição Área  da base apótema Área da face Área lateral Área total Volume
Base triangular regular        L2 √3
A = ———
        4
      L√3
m =——
        6
        L.g 
AF = ——
         2
  AL = 3AF  AT= AB + AL
      AB.h
V = ———
        3
Base quadrangular  AB = L2         L
m = ——
        2
        L.g 
AF = ——
         2
  AL = 4AF  AT= AB + AL       AB.h
V = ———
        3
Base hexagonal regular       6L2 √3
A = ———
        4
      L√3
m =——
       2
        L.g 
AF = ——
         2
  AL = 6AF  AT= AB + AL       AB.h
V = ———
        3

 

b) Fórmulas complementares das pirâmides regulares

• g 2 = m 2 + h 2     ( g = apótema da pirâmide, h = altura e m = apótema da base)

 

c) Tronco de pirâmide

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Ab        d 2
• —— =  ——
    AB       H 2
                                                                   -
                                                                   .
            h 
• VT = —— [AB + Ab + √AB.√Ab]
           3

 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 3º) Figuras redondas

Descrição      Área da base     Área lateral     Área total    Volume
Cilindro      AB = πR2     AL = 2πRh    AT = 2πR(h + R)   V =πR2h
Cone      AB = πR2     AL = πRg    AT = πR(g + R)
         πR2h
  V = ———
           3
Esfera        *  *  *  *      *  *  *  *     A = 4πR2
         4πR3
  V = ———
          3

 R = raio        h = altura           g = geratriz

 

II) EXERCÍCIOS DE REVISÃO   

A) PRISMAS

1)  Um prisma reto de base regular apresenta aresta da base igual a 20 cm e altura igual a 15 cm. Determine:

a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um triângulo equilátero; 

a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é quadrangular; 

a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um hexágono regular; 

 

2) A área da base de um prisma reto é 200 cm2 e a altura 80 cm. Calcule o seu volume.

 

3) Sendo a área lateral de um cubo igual 144 cm2, calcule:

a) a aresta      b) a diagonal da face       c) a diagonal do cubo        d) a área total           e) o volume

 

4) Sendo a aresta de um cubo igual 20 cm, calcule:

a) a área lateral      b) a diagonal da face       c) a diagonal do cubo        d) a área total           e) o volume

 

5) Sendo a diagonal de um cubo igual a 12√3 dm, calcule:

a) a aresta      b) a diagonal da face       c) a área lateral        d) a área total           e) o volume

 

6) As dimensões de um paralelepípedo são 15 cm, 8 cm e 6 cm. Calcule:

a) a diagonal

b) a área lateral

c) a área total

d) o volume

 

7) As dimensões do um paralelepípedo da figura abaixo ,em centrímetros, são proporcionais à 10, 6 e 4 e a razão de proporção 2. Calcule:

 

a) a diagonal

b) a área lateral

c) a área total

d) o volume

 

7) As dimensões de um paralelepípedo,em centrímetros, são proporcionais à 6, 4 e 2 e a diagonal 684 dm. Calcule:

a) as arestas

b) a área lateral

c) a área total

d) o volume

 

8) Um tanque, no formato de paralelepípedo, com dimensões de 4m, 3m e 6m de altura está com água até a altura de 3,5m. Ao se colocar uma pedra dentro deste tanque a altura da água sobe para 4m de altura.  Calcule, em m3, o volume da pedra.

 

9) Uma grande caixa no formato de um paralelepípedo destina-se, apos cheia com água potável, encher pequenos baldes ciilíndricos com diâmetro 30cm e altura 50cm que custarão 2,50 real cada balde cheio. Determinar:

a) o nº de litros de que contém uma caiixa totalmente cheia;

b) o nº aproximado de baldes que daria para encher com a água da caixa caixa completamente cheia

c) o dinheiro ganho com a venda de uma caixa cheia de água

Considere π = 3

 

10) Uma picina com 10m de comprimento, 5m de largura e 2m de altura contém água até até o nível de 1,7m. Se toda a água dessa picina for colacada em outra picina de comprmento 12m e largura de 6m, qual a altura que a água ficaria nesta segunda?

 

B) PIRÂMIDES DE BASE REGULAR

 

11)  Uma pirâmide de base regular apresenta aresta da base igual a 12 cm e altura igual a 10 cm. Determine:

a) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um triângulo equilátero; 

b) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é quadrangular; 

c) a área da base, o apótema da base, a área lateral, área total e volume considerando que a sua base é um hexágono regular

 

12) Uma pirâmide tem o apótema 8 cm  e o apótema da base é 6 cm. Calcule:

a) a área lateral                  b) a área total                c) o volume

 

13) Pretende-se construir uma tenda feita com um tecido e na forma de uma pirâmide de base quadrangular de aresta 5m e 8m de altura. Sabendo que o preço de 1m2 equivale a 5,50 reais, calcule:

a) a quantidade de tecido necessária para se construir a tenda, em m2;

b) o valor gasto para comprar o material necessário para fazer a tenda

 

14) Visando abastecer a população de uma cidade com água potável, foi construído um tanque em formato de pirâmide onde a base hexagonal regular tem aresta medindo 30m e altura de 4m. O preço do litro de água é 0,20 real (20 centavos) e uma cada pessoa consome em média 50 litros de água por dia. Calcular:

a) a quantidade de litros de água deste tanque quando ele estiver completamente cheio;

b) o dinheiro gasto para encher totalmente o tanque;

c) o nº de pessoas que poderá ser abastecidas com o tanque cheio

 

C) EXERCÍCIOS SOBRE CILINDRO

 

15) Um cilindro apresenta raio da base igual a 12 cm e altura igual a 10 cm. Calcule

a) a área lateral         b) a área total         c) o volume         d) a área da secção meridiana

 

16) Sabendo que a área total de um cilindro equilátero de raio da base igual a 20 cm é 600π cm2, calcule:

a)  a área lateral          b) a área da seção meridiana           c) o volume

 

17) Um tanque no formato de um cilindro e de raio da base igual a 3m, contém água até a altura de 2m. esta água é retirada e colocada em outro tanque com a forma de um paralelepípedo que tem base medindo 3m x 4m. Supondo que a água neste 2º tanque não transborde, ela irá ser vendida ao custo de 2,00 reais cada garrafa plástica cilíndrica que apresenta diâmetro de 8 cm por 30 cm de altura. Considere π = 3. Calcule:

a) a altura da água no segundo tanque;

b) o número de garrafas que serão enchidas pela água do tanque;

c) o dinheiro arrecadado com a venda de toda água do tanque.

 

18) O volume de um cilindro equilátero apresenta volume de 432π cm3.  Calcule a área lateral e total desse cilindro.

 

19) Um cilindro de altura 40 cm apresenta o raio igual a aresta de um cubo de volume 216π cm3. Calcule o volume do cilindro e as suas áreas lateral e total.

 

D) EXERCÍCIOS SOBRE CONES

 

20) Um cone reto apresenta raio da base igual a 6 cm e altura 8 cm. Calcule:

a) a área lateral                   b) a área total                c) o volume

 

21) A área total de um cone de diâmetro da base igual a 8 cm é 36π m2. Calcule:

a) a área lateral             

b) o volume

 

22)  O volume de um cone reto de altura igual a 8 m é 288π m3. Calcule a área\ lateral e a área total.

 

23) Um tanque, feito de folhas de metal, na forma de um cone de raio da base igual a 6m e altura 8 m, completamente cheio, contém 288000 litros de água. A água é retirada deste tanque e colocada em outro tanque na forma de um cilindro, que apresenta raio da base igual a 4 m. Com esta água é enchidas garrafas de plásticos cilíndricas de raio 6cm e altura 10cm. Cada garrafa será vedido a 0,80 centavos de real. Considere π = 3 e determine:

a) a altura da água no segundo tanque;

b) o número máximo de garrafas que dá para encher com a água;

c) o valor apurado com a venda de toda a água do tanque.

d) a quantidade, em m2, de folha de aço que dá para fazer o tanque na forma de cone.

 

E) EXERCÍCIOS SOBRE ESFERAS

 

24) Para uma esfera de raio igual a 200cm, calcule a área da superfície, o volume da esfera, o volume da cunha esférica que corresponde a um ângulo de 30º e a área do fuso esférico com ângulo de 60º.

 

25) Uma esfera de raio R é seccionada a 60cm do centro e o raio da secção é 80cm. Calcule a área da superfície e o volume dessa esfera.

 

26) Um cubo de aresta 120cm está circunscrito a uma esfera completamente cheia de água. Calcule:

a) a área da superfície da esfera          b) o volume da esfera         c)  o númer de litros de água que a esfera contém. Use π = 3

 

27) Se o volume de um cubo que se encontra inscrito em uma esfera é 1000 cm3, calcule o o volume da esfera, em cm3 e em ml.

 

28) Sabendo que a área da superfície de uma esfera é 400π m2, calcule o volume desta esfera e o volume de um cilindro de 8 m de altura que tem o mesmo raio.

 

29) Sabendo que o volume de uma esfera é 256π m2, calcule a área de sua superfície e a área e volume de um cilindro equilátero que possui o mesmo raio desta esfera.

 

Última atualização em Ter, 27 de Dezembro de 2011 20:15