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Resumo e exerícios sobre plano PDF Imprimir E-mail
Ter, 14 de Janeiro de 2014 18:17

 

PLANO

 

I) RESUMO DAS EQUAÇÕES DO PLANO

1) Equação votorial

Sejam u= (a1, b1, c1)  e v = (a2, b2, c2)  vetores diretores de um plano ∏. Se A (xo, yo, zo) pertence também a ∏, então e quação P = A + t.u + k.v, com t e k constantes reais, é chamada de equação vetorial do plano.

 

2) Equação paramétrica do plano

São as equações do tipo:

x = xo + t.a1 + k.a2

y = yo + t.b1 + k.b2

z = zo + t. c1 + k.c2

 

3) Equação geral do plano

São as equações do tipo ax + by + cz + d = 0

 

4) Distância de um ponto ao plano

 

d(P,π) = |(axo + byo + czo + d)|.(a2 + b2 + c2-1/2

 

5) Distância de um ponto P do espaço a uma reta r

 

d(P,r) = |AP x v|/|v|

 

II) EXERCÍCIOS SOBRE PLANO E RETA

 

1) Dados os vetores diretores u e v do plano ξ com u = 2i + 3j - 2k e v = (5,- 3, 4) e um ponto P(0, 5, - 8) deste plano, determine:

a) a equação votorial do plano ξ;

b) as equações paramétricas deste plano;

c) a equação geral do plano ξ

 

2) Ache a distância do plano 3x + 6y - 12z + 10 = 0 ao ponto P(2, 0, - 9).

 

3) Calcule a distância de A(2, - 4, 7) a reta r de equação P = (1, - 1, 0) + t. (2, 8, -4)

 

4) Sendo v1 =(2, -1, -4) e v2 = (-2, 6, 10) os vetores diretores de um plano que contém o ponto B(0, -3, 2), determine:

a) as equações paramétricas deste plano;

b) a equação geral do plano;

c) a distância deste plano ao ponto de intersecção das retas 2x + y = 3 e x - y - 6 = 0

d) o ângulo entre os vetores v1 e v2 e o produto escalar e vetorial deles.

 

5) O vetores u = (2, 1, 3) e v = (1, 3, - 4) são vetores diretores do plano β que contém o ponto A(2, 4, 5). Determine:

a) a equação vetorial do plano β que contém A;

b) a equação do plano β na forma paramétrica;

c) a equação do plano β na forma geral;

d) o ponto de intersecção do plano β com o eixo das abscissas;

e) o ponto de intersecção do plano β com o eixo das ordenadas;

f) o ponto de intersecção do plano β com o eixo das cotas.

 

6) Determine o vetor normal a cada plano abaixo:

a) 4x + 2y - 6z + 7 = 0;

b) (x, y, z) = (8, 3, 2) + Ψ(- 2, 5, 4) + μ(3, - 1, - 2)

 

7) Seja a equação do plano Σ dada por (3m - 6)x + (-p + 4)y + (- 4k + 12)z + (2q - 10) = 0 onde m, p, k e q são números reais. Determine:

a) q para que o plano Σ contenha a origem;

b) m para que o plano Σ seja paralelo ao eixo da abscissas;

c) p para que o plano Σ seja paralelo ao eixo das ordenadas;

d) k para que o plano Σ seja paralelo ao eixo das cotas.

 

8) Dada a equação do plano λ: (2m + 3n - 6)x + (m - n + 1)y + (- 2m + 7n - 20)z + (- 12r + 48) = 0 onde m, n e r são números reais. Determine:

a) m e n para que o plano λ seja paralelo ao plano xy;

b) m e n para que o plano λ seja paralelo ao plano xz;

c) m e n para que o plano λ  seja paralelo ao plano yz;

d) r para que o referido plano contenha a origem do sistema ortogonal de eixos.

 

9) Achar, se existir, a equação geral de β em cada caso abaixo:

a) β contém os pontos A(3, 0, 3),  B(- 2, 0,2) e  C(4, 3, - 2).

b) β contém o ponto (7, - 2, 0) e é paralelo aos vetores u = 2i + 2j + 2k e v = - 4 i + 4z

 

10) Uma equação do tipo ax + by  + c = 0 pode representar uma reta ou um plano, dependendo do sistema de coordenadas que for considerado. Determine:

a) a representação gráfica de 5x + 6y - 30 = 0 em R2;

b) a representação gráfica de 5x + 6y - 30 = 0 em R3.

 

11) Determine os pontos de interseção de 2x + 5y - 4z - 20 = 0 com os eixos x, y e z.

 

12) Calcule o ângulo entre o plano representado pelos pontos A(2, -3, 5), B(1, 9, 4) e (- 2, 6, 0) e o plano que contém o ponto P(2, -1, 3) e é paralelo aos vetores u = 3i + 2j + 4k e v = - 2i + 5j - k

 

13) Calcule o ângulo entre:

a) os planos de equações  ∏1: 2x - y - z + 1 = 0 e ∏2: 3x - 2y + 1 = 0;

b) os planos λ e Σ de equações (x, y, z) = (2, 3, - 2) + t(1, 2, 3) + u(2, 0, 3) e (x, y, z) = (3, 1, 0) + t(2, 1, 1) + u(- 3, 1, 0);

c) a reta r: que passa por A(2, - 1, 4) e é paralela ao vetor v = (4, - 1, 2) e a reta s: (x, y, z) = (2, 5, - 3) + t(9, 2, 1).