MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

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I) RESUMO DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

São movimentos retilíneos sub a ação de uma força constante. Podem ser acelerado ou retardado e cada uma destas denominações pode-se acrescentar os termos progresivo ou retrógrado dependendo dos sinas da velocidade.

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1) Características:

• aceleração centrípetra nula

• aceleração tangencial constante

• aceleração resultante constante

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2) classificação:

Resumo de classificação:

a) acelerado: v > 0 e a > 0 ou v < 0 e a < 0 ( sinais de a e v iguais)

b) retardado: v > 0 e a < 0 ou v < 0 e a > 0 ( sinais de a e v opostos)

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3) Equações:

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4) Nomeclatura das grandezas

v_o = velocidade inicial ( em t = 0)

v = velocidade

s_o = posição inicial

s= posição final

a = aceleração

t = tempo

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5) Conhecimento gráfico

II) EXERCÍCIOS DE REVISÃO  E DE COMPLEMENTAÇÃO

A) QUESTÕES DE MRUV

1) O movimento de um móvel, em trajetória retilínea, é realizado segundo o gráfico abaixo. Ele é movimento uniformemente variado em apenas alguns intervalos de tempo e não no intervalo todo de 0 a 8 h.

Determine:

a) a aceleração entre os instantes 0 e 2h, em km/h²;

b) a aceleração entre os instantes 4 e 6 h, em km/h²;

c) a classificação do movimento como acelerado ou retardado no intervalo 0 ≤ t ≤ 2h;

d) a classificação do movimento como acelerado ou retardado no intervalo 4≤ t ≤ 6h;

e) a classificação do movimento como progressivo ou retrógrado no intervalo 2 ≤ t ≤ 4 h;

f) a classificação do movimento como progressivo ou retrógrado no intervalo 6 ≤ t ≤ 8 h;

g) a velocidade em t = 0,3 h em km/h e em m/s;

h) a velocidade em t = 4,2h em km/h e em m/s;

i) os instante que muda de sentido.

2) A velocidade de uma partícula que se encontra na posição 20m em t = 0, varia segundo a tabela mostrada abaixo:

OBS: a velocidade inicial corresponde ao tempo t = 0.

Sendo o movimento retilíneo, determine:

a) a celeração  (resp: a =  10 m/s²);

a = Δv/Δt

a = (50m/s - 30m/s)/(12s - 10s)

a = 20m.s^-1/2s

a = 10 m/s²

b) as funções horárias da velocidade e do espaço (resp: v = - 70 +10t; s = 20 - 70t + 5t²);

v = v_o + a.t (substitui os dados)

v = - 70 + 10t

s = s_o +v_o.t + 1/2. (at²) (substitui os dados)

s = 20 - 70t + 5t²

c) o instante que muda de sentido, se houver  (resp: t = 7 s);

v = - 70 +10t

0 = -70 +10t

70 =10t

t = 70/10

t = 7 s

d) a velocidade em t = 50s  (resp:  v = 430 m/s);

v = - 70 + 10.50

v = - 70 + 500

v = 430 m/s

e) a velocidade média entre 10s e 14s  (resp: 50 m/s).

Acha a área do gráfico v(t) = - 70 + 10t no intervalo considerado e divide pelo respectivo tempo.

d) o instante em que a velocidade é 400 m/s   (resp: t = 47 s)

400 = -70 +107

400 + 70 = 10t

470 = 10t

t = 470/10

t = 47 s

3) O movimento retilíneo de um objeto obedece ao gráfico abaixo:

Determine:

a) a posição inicial  (resp: s_o = 3 m);

b) a velocidade em t = 0   (resp: v_o = -4 m/s);

c) a aceleração  (resp: 2 m/s²);

d) o instante que inverte o sentido do movimento   (resp:t = 2 s);

e) a velocidade em t = 10s   (resp: v = 16 m/s);

f) a distância percorrida entre 5 segundos e 25 segundos   (resp: 570 m).

4) A velocidade de uma patícula aumenta uniformemente de 36km/h para 108km/h em 5 segundos em linha reta. Calcule:

a) a sua aceleração    (resp: 4 m/s²);

v_o = 36 km/h = 10 m/s

v = 108 km/h = 30 m/s

t = 5 s

a = Δv/Δt

a = (30m/s - 10m/s)/5s

a = 20 / 5

a = 4 m/s²

b) a distância percorrida em 40 segundos (resp: 3600 m);

Área da região limitada pelo gráfico de v = 10 + 4.t no intervalo de 0 a 40 s e o eixo dos tempos.

c) a sua velocidade em t = 25 segundos   (resp: 110 m/s);

v = 10 + 4.t

v = 10 + 4.25

v = 10 + 100

v = 110 m/s

d) o instante onde a sua velocidade é 50m/s   (resp: 10 s)

v = 10 4.t

50 = 10 +4t

50 - 10 = 4t

40 = 4t

t = 40/4

t = 10 s

5) O movimento de uma paríticula é descrita pela função s(t) = 1200 - 70t + t² com as unidade no SI. Para uma trajetória retilínea, detemine:

a) a posição inicial   (resp: 1200 m);

b) a velocidade em t = 0    (resp: - 70 m/s);

c) a sua aceleração  (resp: 2 m/s²);

a/2 = 1→ a =2 m/s²

d) a velocidade em t = 30s   (resp:- 10 m/s);

v = v_o + v.t

v = - 70 +2t

v = -70 + 2.30

v = - 70 + 60

v = - 10 m/s

e) o instante que o movimento inverte o sentido  (resp: 35 s);

v = - 70 + 2t

0 = - 70 +2t

70 =2t

t = 70/2

t = 35 s

f) o instante em que v = 33m/s  (resp: 51,5s)

v = - 70 +2t

33 = - 70 +2t

33 + 70 = 2t

103 =2t

t = 103/2

t = 51,5 s

g) a velocidade média entre t = 2s e t = 8s

Faz o gráfico de v = - 70 +  2t e calcula a área da região corresponde ao intervalo considerado. Divide pelo respectivo intervalo de tempo.

6) A velocidade de um móvel que parte da origem dos espaços e move-se em lina reta, varia com o tempo segundo o gráfico v = f(t) abaixo.

Calcule:

a) a aceleração  (resp: 2,5 m/s²);

b) a velocidade em t = 30 segundos   (resp: 80 m/s);

c) o instante em que a velocidade é 100 m/s  (resp: 38 s);

d) a posição em t = 10 segundos   (resp: 175 m);

e) a posição em t = 50s  (resp: 3375 m);

f) a distância percorrida entre t = 5 s e t = 20 s  (resp:543,75 m)

7) A velocidade de um móvel varia segundo a tabela abaixo. em t = 0 ele encontra-se  na posição 50m.

Sendo o movimento retilíneo, determine:

a) a celeração  (resp: - 50 m/s²)

b) as funções horárias da velocidade e do espaço  (resp: v = 350 - 50t; s = 50 +350t - 25t²);

c) o instante que muda de sentido, se houver  (resp: 7 s);

d) a velocidade em t = 30s  (resp: - 1150 m/s);

e) o instante em que a velocidade é 50 m/s   (resp: 6 s).

8) Duas partículas movem-se em linha reta segundo as funções horárias S_A = 100 + 20t e S_B = - 44 + 20t + t² (SI). Determine:

a) o instante que elas se encontram  (resp: 12 s);

b) a distância percorrida por cada uma até o encontro  (resp: d_A = 240 m; d_B = 384 m);

c) as velocidades das partículas em t = 4s   (resp: v_A = 20 m/s; v_B = 28 m/s);

d) a distância que separa as partículas em t = 20s (resp: 256 m);

e)  O instante que a partícula B inverte o sentido do movimento   (resp: não há);

9) No instante t = 0s um  uma moto encontra parada em um sinal luminoso quando passa por ela um carro com velocidade constante de 72km/h. Neste mesmo instante  a moto parte em linha reta com aceleração constante de 4m/s². Determine:

Solução:

v = 72 km/h = 20 m/s

a = 4 m/s²

S_{M =} S_o + (1/2). 4t² S_c = S_o + 20t

a) o instante que a moto acompanha o carro   (resp: 10 s);

1/2.4t² = 20t

2t² - 20t = 0

t(2t - 20) = 0

t = 0 ou 2t - 20 = 0

2t = 20

t = 20/2

t = 10 s

b) a distância que cada um percorre até o encontro   (resp: 200 m).

ΔS = v . t

ΔS = 20 m/s . 10s

ΔS = 200 m

10) Um ônibus entra em um viaduto de 180 m de comprimento com velocidade 108km/h e sai do mesmo com velocidade de 36km/h em  10 segundos. Qual o tamanho do referido ônibus?

v_o = 36 km/h = 10 m/s v = 108 km/h = 30 m/s            Δt =10 s

Sejam   V_m = ΔS/Δt  e V_m =  (v_o + v)/2   → ΔS/Δt = (V_o + V)/2

(180 + x)/10 = (10 + 30)/2

(180 + x)/10 = 20

180 + x = 200

x = 200 - 180

x = 20 m

11) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo a equação v = 10 +4t com as unidades no S.I. Calcule a distância precorrida entre 2 e 5s.

resp: 72 m

12) A velocidade de um móvel que passa pela posição s = 10 m em t = 0, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. A trajetória é retilínea.

Calcule:

a) a aceleração  (resp: - 5 m/s²);

b) a velocidade em t = 20 segundos  (resp: - 80 m/s);

c) o instante em que a velocidade é -60 m/s   (resp: 16 s);

d) a posição em t = 10 segundos   (resp: - 40 m);

e) a posição em t = 14 s  (resp: - 300m);

f) a distância percorrida entre t = 20 s e t = 30s   (resp: 1050 m)

13) No instante t = 0 a velocidade de um móvel é 180 km/h é freada até parar com aceleração de módulo igual 4 m/s².Calcule:

a) a distância percorrida até parar  (resp: 312,5 m);

b) o tempo de movimento  (resp: 12,5 s).

14) Um carro que se movimenta do ponto x ao ponto y com velocidade constante de 20m/s em 15 minutos, freia uniformemente a partir de y até parar em z com aceleração de 5m.s^-2. Calcule a distancia percorrida de x até z e o tempo gasto do ponto y ao ponto z.

( distância = 18040 m;       t = 4 s )

15) A partir do instante t = 0 um automóvel percorre 2300m, em trajetória retilínea,  com movimento descrito pela função horária  v = v_o + 10t até t = 20s onde v = 215 m/s. Calcule a a velocidade do automóvel em t = 100s e a distância percorrida no intervalo 2 ≤ t ≤ 30 s. Despreze o comprimento do carro.

( v = 1015 m/s;        distância = 4900 m)

16) No instante t = 0 um móvel A está em repouso quando passa por ela outro móvel B com velocidade constante como é mostrado na figura seguinte.  Eles correm na mesma trajetória retilínea. Calcule:

a) o instante que o móvel A alcança o móvel B   (resp: 8 s);

b) a distância que eles percorrem até o instante que eles estão na mesma posição (resp:320m) .

17) A função horária de uma partícula é v = 50 + at e em 15 segundos ele alcança 200 m/s. Determine a distância percorrida entre 10 e 30 segundos e a velocidade média neste intervalo.

( resp: 5000 m; 250 m/s)

200 = 50 + a.15

200 - 50 = 15.a

150 = 15a

a = 150/15

a = 10 m/s².

Esta é a função horária: v = 50 + 10t (é só fazer o gráfico v x t e calcular a área da região limitada pelo gráfico e o eixo dos tempos, do referido intervalo de tempo, para achar a distância Δs percorrida. Usa v = Δs/Δt  com Δt =20 s para calcular a velocidade média.

18) No diagrama v x t cujo gráfico forma um ângulo de 30º com o eixo dos tempos, uma partícula realiza um MRUV durante 15 segundos. Em t = 0 a sua velocidade é 10√3 m/s. Determine:

a) a aceleração  (resp: √3/3 m/s²);

b) a velocidade em t = 15 segundos  (resp: 15√3 m/s);

c) a distância percorrida entre 3 e 21 segundos  (resp: 252√3 m).

19) A velocidade de um móvel varia em linha reta com o tempo segundo o gráfico v x t abaixo.

Calcule:

a) a distância percorrida entre 20 segundos e 40 segundos  (resp: 175 m);

b) a velocidade média entre 20s e 40s  (resp: 8,75 m/s);

c) a aceleração entre 0 e 20 s e entre 30s e 40s  (resp: 0,25 m/s²; - 1,5 m/s²);

d) a distância percorrida entre 0 e 40 s    (resp: 225 m).

20) Um móvel movimenta-se da origem dos espaços segundo o gráfico abaixo em movimento retilíneo.

Determine:

a) a função horária da velocidade;

b) o instante que muda de sentido;

c) o intervalo em que o movimento é acelerado e retardado;

d) a velocidade em t = 100 segundos;

e) o instante onde v = 120 m/s;

f) a posição em t = 40 s.

21) A velocidade de um corpo, em movimento retilíneo, varia com o tempo segundo o gráfico abaixo:

Determine:

a) a distância percorrida em entre 0 e 6 segundos;

b) a velocidade escalar média entre 0 e 6 s;

c) o instante que muda de sentido;

d) a aceleração escalar entre 0 e 1 segundo;

e) a aceleração escalar entre 3 e 5 segundos;

f) a máxima velocidade que ele consegue atingir no sentido progressivo;

g) o tipo de movimento nos intervalos 0≤ t ≤ 1s, 1 ≤ t ≤ 3s,  3 ≤ t ≤ 5s e 5 ≤  t≤ 6s

22) Um corpo que move-se em trajetória retilílea tem a sua velocidade variando com o tempo segundo o gráfico abaixo:

Determine:

a) a classificação do movimento como progreesivo ou retrógrado no intervalo 0 ≤ t ≤ 6 s;

b) a classificação do movimento como progressivo ou retrógrado no intervalo 22 ≤ t ≤ 28 s;

c) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  6 ≤ t ≤ 10 s;

d) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  6 ≤ t ≤ 10 s;

e) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  18 ≤ t ≤ 22 s;

f) a classificação como acelerado ou retardado no intervalo  28 ≤ t ≤ 30 s;

g) a distância percorrida entre 20 e 30 s;

h) a velocidade escalar média entre 20 e 30 segundos;

i) a velocidade entre t = 7 segundos;

j) a velocidade em t = 21 segundos;

k) os instantes que muda de sentido entre o e 25 segundos.

23) Um corpo que move-se em trajetória retilílea tem a sua posição variando com o tempo segundo o gráfico abaixo:

Determine:

a) os instantes que passa pela origem dos espaços;

b) os intantes que muda de sentido;

c) a classificação do movimento como acelerado ou retardado no intervalo  0 ≤ t ≤ 8 h;

d) a classificação do movimento como acelerado ou retardado no intervalo  8 ≤ t ≤ 11 h;

e) a classificação do movimento como progressivo ou retrógrado em t ≥ 11 h;

f) a velocidade em t = 5 h;

g) a posição em t = 80 h;

h) a velocidade em s = -300 km.

B) QUESTÕES MAIS AVANÇADAS

24) A posição de uma partícula que em t = 0 se encontra na origem dos espaços varia com o tempo conforme a equação dx = v(t)dt onde dx e dt são as variações infinitesimais da posição e tempo respectivamente. Para o caso em que v(t) = 6t², a posição desta partícula em t = 10 sgundos será:

a) 500  m

b) 1000 m

c) 1500 m

d) 2000 m←

e) 2500 m

25) Um ponto material move-se segundo a função horária v(2t - 4) = 8 + 6t em trajetória retilínea. Quando a velocidade for calculada em v(5t + 3) a sua aceleração será:

a) 10 m.s^-2

b) 15m.s^-2 ←

c) 20 m.s^-2

d) 25 m.s^-2

e) 30 m.s^-2

26) A função  s = s_o + v_o.t + (1/2)at² é válida para movimentos de corpos com aceleração constante. Se a aceleração de um móvel for dada por a(t) = At + B, então para este novo caso a sua posição varia com o tempo por:

a) s = s_o + v_ot + t²/A+ t²/B

b) s = s_o + v_ot + Bt²/2 +  At³/3  ←

c) s = s_o + v_ot³ + (A + B)t²/6