Home Matemática 03 (médio) Exercícios sobre cônicas
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Sáb, 31 de Julho de 2010 01:36

CÔNICAS

I) RESUMO SOBRE CÔNICAS 

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A) ELIPSE

Chama-se elipse o conjuntos de ponto P(x,y) tal que PF2 + PF1 = 2a onde F2 e F1 são os focos da elipse.

1)  Elipse tranladada da origem                                    2) Elipse centrada na origem

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1.1) Equação da elipse                                               2.1) Equação da elipse

a) Focos no eixo x'                                                     a) focos no eixo x

 (x - xo)2       (y - yo)2                                                     x2           y2
———— +     ——— = 1                                               ——   +  ——  = 1                          
      a2             b2                                                          a2         b2

b) Focos no eixo y'                                                     b) Focos no eixo y

 (x - xo)2     (y - yo)2                                                           x2       y2
———— +   ——— = 1                                                     —— + ——  = 1                           
    b2            a2                                                                b2      a2

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1.2) Eixos da elipse                                                     2.2) Eixos da elipse

a) Focos no eixo x'                                                      a) Focos no eixo x

2a = eixo maior                                                           2a = eixo maior

2b = eixo menor                                                         2b = eixo menor

b) Focos no eixo y'                                                      b) Focos no eixo y

2a = eixo maior                                                           2a = eixo maior

2b = eixo menor                                                          2b = eixo menor

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1.3) Relação entre os eixos                                          2.3) Relação entre os eixos

         a2 = b2 + c2                                                                                   a2 = b2 + c2

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1.4) Excentricidade                                                     2.4) Excentricidade

           c                                                                                 c
    e = —                                                                          e = —
           a                                                                                 a

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1.5) Centro  da elipse                                                               2.5) Centro da elepse

C(xo , yo)                                                                              C(0 , 0)

1.6) Focos  da elipse                                                               2.6) Focos da elipse

a) Focos no eixo x'                                                               a) Focos no eixo x

F2(xo - c , yo)  e  F1(xo + c , yo)                                             F2( - c, 0)  e  F1(c, 0)

b) Focos no eixo y'                                                               b) Focos no eixo y

F2(xo , yo - c)  e  F1(xo , yo + c)                                             F2(0, - c)  e  F1(0 , c)

     
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B) HIPÉRBOLE

Chama-se hipérbole o conjuntos de ponto P(x,y) tal que PF2 – PF1 = 2a onde F2 e F1 são os focos da hipérbole.

1)  Hipérbole tranladada da origem                                2) Hipérbole centrada na origem

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1.1) Equação da hipérbole                                        2.1) Equação da hipérbole

a) Focos no eixo x'                                                    a) focos no eixo x

 (x - xo)2       (y - yo)2                                                    x2         y2
————   –   ——— = 1                                               ——   – ——  = 1                          
      a2             b2                                                         a2         b2

b) Focos no eixo y '                                                    b) Focos no eixo y

 (y- yo)2     (x - xo)2                                                           y2       x2
————  –  ——— = 1                                                     ——  – ——  = 1                           
    a2            b2                                                                a2      b2

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1.2) Eixos da Hipérbole                                                2.2) Eixos da Hipérbole

a) Focos no eixo x'                                                      a) Focos no eixo x

2a = eixo real                                                             2a = eixo real

2b = eixo imaginário                                                    2b = eixo imaginário

b) Focos no eixo y '                                                     b) Focos no eixo y

2b = eixo real                                                            2b = eixo real

2a = eixo imaginário                                                    2a = eixo imaginário

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1.3) Relação entre os eixos                                          2.3) Relação entre os eixos

         c2 = a2 + b2                                                                 c2 = a2 + b2   

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1.4) Excentricidade                                                     2.4) Excentricidade

           c                                                                                 c
    e = —                                                                          e = —
           a                                                                                 a

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1.5) Centro                                                                 2.5) Centro
 
C(xo , yo)                                                                           C(0 , 0)
 
1.6) Focos  da hipérbole                                                   2.6) Focos da hipérbole
a) Focos no eixo x'                                                          a) Focos no eixo x
F2(xo - a- c , yo)  e  F1(xo + a + c , yo)                                 F2( -a- c, 0)  e  F1(a + c, 0)

b) Focos no eixo y'                                                          b) Focos no eixo y

F2(x0 , yo -b - c)  e  F1(xo , yo + b+ c)                                  F2(0, - b- c)  e  F1(0 , b + c)

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C) PARÁBOLA       
Chama-se parábola o conjunto de pontos P(x,y) tal que d(P,F )= d(P,d) onde d é a reta diretriz e F é o foco.

1)  Parábola tranladada da origem                                2) Parábola centrada na origem

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1.1) Equação da parábola                                       2.1) Equação da parábola

a) Foco no eixo x'                                                   a) foco no eixo x

(y - yo)2 = 4c(x - xo)                                                 y2 = 4cx

(y - yo)2 = – 4c(x - yo)                                               y2 = – 4cx

            
 b) Foco no eixo y'                                                   b) Foco no eixo y
(x - xo)2 = 4c(y - yo)                                                 x2 = 4cy

(x - xo)2 = – 4c(y - yo)                                               x2 = – 4cy

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1.2) Vértice                                                              2.2) Vértice

V(xo , yo)                                                                    V(0,0)

 

1.3) Foco da parábola                                                         2.3) Foco da parábola

a) Foco no eixo x'                                                                a) Foco no eixo x

F(xo + c , yo)  ou  F(xo - c , yo)                                            F( c, 0)  ou  F(- c, 0)

b) Foco no eixo y'                                                                b) Foco no eixo y

F(xo , yo +c)  ou  F(xo , yo - c)                                            F(0, c)  ou  F(0 , - c)

 

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II) EXERCÍCIOS DE VERIFICAÇÃO DA APRENDIZAGEM

1) Determine as coordenadas dos focos, do centro, a excentricidade,  o gráfico e o comprimento dos eixos maior e menor das elipses abaixo:

a) 2x2 + y2 -6x + 4y + 12 = 0

b) 3x2 + y2 -1 6x + 8y + 7 = 0

c) 2x2 + 3y2 - 10x + 6y + 5 = 0

d) x2 + 5y2 -6x + 12 = 0

e) 2x2 + 4y2 -6x + 8y + 2 = 0

 

2) Determine as coordenadas dos focos, do centro, dos vértices, a excentricidade, o gráfico e o comprimento dos eixos real e imaginário das hipérboles abaixo:

a) 2x2 - y2 -6x -44y + 3 = 0

b) 3x2 - y2 - 9x + 8y + 8 = 0

c) x2 - 3y2 + 3x + 6y + 15 = 0

d) 2x2 - 5y2 -6x + 12 = 0

e) 2x2 - 4y2 -4x + 12y + 12 = 0

f) 5x2 - y2  + 18y +11 = 0

 

3) Determine as coordenadas do foco, do vértice, o gráfico e a equação da reta diretriz das parábulas de equações abaixo:

a) x2 + 7x - 3y + 9 = 0

b) 2x2 + 8x - 6y + 2 = 0

c) y2 + 10x - 5y + 3 = 0

d) y2 - 4y + 4x + 5 = 0

e) y2 + 12y + 2x + 1 = 0

 

4) As coordenadas dos focos de uma elípse são F1(-6,0) e F2(6,0) e o comprimento do eixo mairor é 20. Determine:

a) a equação                                b) a excentricidade                          c) o eixo menor

 

5) As extremidades do eixo menor de uma elipse são os pontos B1(-4,0) e B2(4,0) e um dos focos é F(0,-3). Determinar:

a) a equação                                b) a excentricidade                          c) o eixo maior

 

6) Calcule as coordenadas dos focos, o centro, as coordenadas das extremidades, o comprimento dos eixos maior e menor, a excentricidade, o gráfico de cada uma das elipses abaixo e a área da região limitada por elas.

.
     (x - 4)2     (y + 3)2                  (x + 8)2   (y - 5)2                  x2          y 2                     x 2      y 2
a) ———— + ———— = 1      b)    ———  + ——— = 1       c) ——— + ——— = 1      d)   —— + —— = 1
       100          64                          9           25                     81         36                      4        9   
.
7) Calcule as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos, o comprimentos dos eixos real e imaginário, a excentricidadee o gráfico de cada uma das hipérboles abaixo:
.
      (x + 2) 2   (y  - 6) 2                (y - 7) 2     (x - 3) 2                    x 2       y 2                     y 2       x 2
a) ————- –  ———— = 1       b) ———— –  ———— = 1        c) ——  –  —— = 1     d)    ——— - —— = 1
        64           36                          25           16                       100      64                      36       16
                      .
8) A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse ou a equação da circunfência no plano (xy):
.
    x2           y2
——— + ———— = 1. Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se:
   k - 4    2k - 20
.
a) a equação de uma circunferência;
.
b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo x
.
c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo y
.
9) As equações x2 + 3y2 - 8x  - 12y - 24 = 0  e  y = x - 2 elas interceptam -se nos pontos A e B. Determine o comprmento AB, as coordenadas dos focos da elipse e a sua área.
Última atualização em Sex, 08 de Julho de 2011 22:07