Home Física II - (nivel medio-sup) Resumo e exercícios de gravitação
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Qui, 05 de Agosto de 2010 08:38

 

GRAVITAÇÃO

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I) GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

A) INTRODUÇÃO:

Desde os tempos mais remotos os seres humanos já tinha uma certa atensão voltada para tentar entender o movimento dos corpos celestes. Também havia tentativas de entender por que um corpo no campo gravitacional de outro, ele caia. Observando, segundo a literatura científica o movimento de uma suposta maçã, Newton concluiu que ela caiu porque foi atraída mutuamente pela terra (chamada de força de gravidade). Daí ele generalizou ao afirmar que todos corpos do universo atraiam-se mutuamente, deixando de ser apenas um caso particular entre a maça e a Terra. Por isso chamou de lei da graviatação universal.

B)TABELA DAS PRINCIPAIS FÓRMULAS:


*  G = 6,67 . 10 -11N.m2/kg (contante de gravitação universal)
*  L = momento angular
* M = massa de um astro
*  m= massa de um objeto;
*  R = raio do astro
*  h = altura
* T = período de translação de um astro.


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
.   .

II) EXERCÍCIOS DE REVISÃO E COMPLEMENTO

1) Para um objeto lançado em ocasioões diferentes das superfícies de dois planetas A e B de raios 6000 km e 4000 km, o  gráfico mostra como a aceleração da gravidade que eles adquirem variam com a altura. A constante de gravitação universal é 6,67 . 10-11 N.m2/kg2.

A razão entre as massas de B e A é aproximadamente:

 

a) 1/3

b) 0,35

c) 2/7

d) 0,64     ←

e) n.d.r

 

2) Referente aos planetas da questão anterior, para um objeto de massa m no campo de gravidade deles considere as proposições abaixo:

I)  o objeto sempre teria a mesma massa inercial;

II) a partir de certa altura ele teria um peso aproximado em qualquer dos planetas;

III) a sua massa mudaria quando estivesse no campo de gravidade de A ou B;

IV) nunca este objeto teria a mesma massa inercial.

Está(ão) correta(as):

a) I e III

b) I e II

c) II e IV

d) I

e) II

 

3) Um satélite realiza uma órbita considerada circular de raio r em torno de um planeta de massa M. Sendo G a constante de gravitação universal, determine o módulo da velocidade deste satélite em função de R, h, G e M  ou de r, G e M onde r = R + h.

 

4) Uma partícula de massa qualquer quando é lançada da superfície de um planeta de massa M e raio R pode escapar do campo de gravidade deste planeta se tiver velocidade de lançamento suficiente para chegar ao infinito com energia nula. Deduza uma fómula para calcular a velocidade suficiente para ela conseguir livrar-se do campo de gravidade da Terra em função de R, M e G onde G é a constante de gravitação universal.

 

5) Para um pequeno planeta de raio 1000 m é mostrado no gráfico como varia a aceleração da gravidade que um corpo de massa qualquer fica submetido, quando dentro do campo de gravidade desse planeta, em função da altura que esse corpo se encontra. A constante da gravitação universal é 6,66 . 10-11 N.m2/kg. A massa desse planeta e a aceleração da gravidade adquirida por um corpo próximo da sua superfície são respectivamente:

a) 7. 1016 kg e 5 m/s2

b) 12. 1014 kg e 10 m/s2

c) 11. 1016 kg e 3,5 m/s2

d) 9. 1016 kg e 6 m/s2

e) 6. 1015 kg e 15 m/s2

 

6) Orbita em torno de uma estrela de massa M dois planetas X e Y. O planeta X tem o raio médio da sua órbita três vezes maior do que o pleneta Y. Se o período de tranlação do planeta X é Tx, determine o temp que o planeta Y leva para realizar uma volta completa em torno da estrela.

7) Segundo a 1ª lei de Keppler a órbita dos planetas (a Terra, por exemplo) em torno das estrelas(como o Sol) é:

a) uma parábola;

b) uma circunferência com a estrela no centro;

c) uma elipse com a estrela no centro

d) uma eípse com a estrela em um dos focos   ←

d) um reta

 

8) Dois planetas A e B giram em torno de uma estrela  em órbitas consideradas circulares respectivamentes distantes de 800000 km e 500000 km da estrela E.

Se o planeta B  leva 1 ano terrestre para completar uma volta em torno da estrela, o planeta A leva aproximadamente, em anos terrestres:

a) 2 anos  ←

b) 3 anos

c) 4 anos

d) 5 anos

e) n.d.r

 

9) Pela 2ª lei de Keppler, há uma relação entre o período(T) de um planeta e o raio médio da sua órbita (R) em volta de uma estrela e esta relação é igual a contante T²/R³ para qualquer planeta que gravita em torno dessa estrela. A expressão correta para esta constante é:

a) 4Π²/GM ←

b) 2Π G/M

c) 6M/ΠG

d) 5GM/3

e)  3GM/2

 

10) Seja m a massa da lua e M a massa da terra e que a distância entre  seus centros é o segmento de rata de comprimento d. Há um ponto sobre o segmento d que se for colocado um corpo de massa m' ele não sofrerá qualquer ação do campo de gravidade dos referidos astros. Considerando que  eles estão isolados da influência do campo de gravidade dos outros astros, determine em função de m, M e d a distância do centro da terra onde este campo de gravidade é nulo na reta que une seus centros.

 

11) O gráfico abaixo mostra  como aceleração da gravidade que um objeto de massa m fica submetido quando é lançado das superfícies de dois pequenos planetas muito densos A e B de raios respectivamente 1000 m e 2000 m varia com a altura.

As massas aproximadas destes planetas são respectivamente:

a) 2 . 1017 kg e 1,2 . 1018kg;

b) 3 . 1017 kg e 7 . 1017 kg;

c) 4,9 . 1016 kg e 5,4 . 1017 kg  ←

d) 5 . 1015 kg e 1,1 . 1016 kg;

e) 1,2 . 1021 kg e 1,7 . 1021 kg.

 

12) Se dois corpos de massas X e Y estão com seus centros separados por uma distância z e sendo G a constante de gravitação universal, a força de gravidade com que eles atraem-se quando estão livre da ação de outros tipos de forças pode ser calculada por:

a) X.Y/Gz

b) GXYz-2

c) GX/Yz

d) GX²/Y²z-3 e) Gz(Y/X)

 

13) A lei  física que rege a atração gravitacional entre duas massas que ocupam espaços diferentes, pode ser entendida como:

a) (   ) a Lei de Keppler;

b) (   ) as leis de Newton;

c) ( x ) a lei da gravitação universal

d) (   ) a lei do acaso

e) (   ) a lei de Boyle

 

14) Para um planeta que descreve uma órbita considerada hipoteticamente circular em volta de uma certa estrela, com período de translação T e raio médio da sua órbita R, a expressão que mede a sua velocidade areolar será:

a) 2ΠR/T

b) ΠR2/T  ←

c) 4Π2T/R3 d) RT/2Π

e) 2ΠRT

 

15) Um planeta de massa m gira em torno de uma estrela onde realiza uma órbita de mesmo raio médio da órbita da Terra. A massa desta estrela  é 1/3 da massa do sol cujo período de tranlação é 365 dias. O tempo aproximado que este planeta completa uma volta em torno do respectivo astro seria:

a) 730 dias;

b) 1095 dias;

c) 121 dias;

d) 631 dias;

e) 240 dias.

 

16) Um foguete é lançado verticalmente da superfície terrestre e atinge uma altura equivalente a 4 vezes o raio da Terra. Sendo M, R e G a massa do nosso planeta, o raio e a constante de gravitação universal respectivamente, a sua velocidade de lançamento em função de M, R e G será:

a) (4GM/3R)2

b) (7GM/5R)3

c) (11GM/7R)1/3

d) (9GM/11R)1/2

e) (8GM/5R)1/2 x

 

17) A Terra gira com uma velocidade angular de rotação igual a ω a a celeração da gravidade nos pólos igual a g. Com qual velocidade, em função de g, a Terra teria que girar para que uma pessoa posicionada no equador tivesse o seu peso reduzido a metade?

 

18) Suponha que a trajetória da órbita de um planeta P no plano (xy)  em torno de uma estrela S seja dado pela equação 4x 2+ 25y 2- 24x - 100y + 36 = 0, onde x e y são medidas em milhares. A posição provável dessa estrela será:

a) (3- √21, 2)  ou (3 + √21, 2)

b( 8√3, 10) ou (- 8√3, 10)

c( 30,√5) ou (- 30, √5)

d(20, 12) ou (-20, 12)

e) nenhuma

 

19) A órbita de um planeta em torno de uma estrela é regida pela equação 16x2 + 25y2 = 1600. A área da região interna delimitada pela trajetória desta estrela, com x e y medidos em 103 km, será em km2:

a) 50000000π

b) 70000000π

c) 80000000π x

d) 90000000π

e) 100000000π

 

20) Uma menina da superfície da terra, no nível do mar, atira uma pedra verticalmente para cima. Esta  atinge uma pequena altura e depois retorna ao chão atuando nela apenas a força de gravidade. Num só sistema de eixos é mostrado como se comporta duas grandezas físicas x ou y do movimento da pedra em função da altura, ao longo de todo o movimento. Se separássemos os gráficos e os colocássemos convenientemente em sistemas de eixos diferentes, mantendo o mesmo tipo de dados no eixo horizontal, teríamos:

I) o gráfico pontilhado representaria a velocidade da pedra na subida em função da altura;

II) o gráfico de linha cheia representaria a velocidade da pedra na subida e descida;

III) o gráfico de linha pontilhada representaria a aceleração gravitacional da pedra na subida  e descida;

IV)  o gráfico de linha cheia representaria a aceleração gravitacional da pedra só na subida.

Está(ão) correta(s):

a) I e II

b) II e III     ←

c) I, II e III

d) nenhuma

e) todas

 

QUESTÕES MAIS AVANÇADAS

21) Dois pequenos astros de massas 40 toneladas e 50 toneladas cada estão inicialmente separados por uma distância muito grande e em repouso. Eles são atraídos pela força de gravidade. No instante que as suas velocidades de aproximação são 200 m/s, o módulo da energia potencial gravitacional deste sistema formado pelos astros é:

a) 3,9  .107 J

b)  2,7 . 109 J

c)  1,1 . 1010 J

d)  3,6 . 109 J

e)  1,8 . 109 J   x

 

22) Dois planetas de massas iguais a m giram em uma mesma órbita considerada circular em pontos diametralmentes opostos em torno de uma estrela de massa M situada no centro da circunferência orbital. Determine:

a) o período de revolução dos planetas;

b) o período de revolução dos plenetas quando as massas deles forem muito menores do que a massa da estrela;

d) o período de revolução dos planetas para o caso hipotético da massa da estrela ser zero e eles girarem em torno do centro de gravidade deles.

 

23) Um astro é formado por três cascas esféricas A, B e C, de dentro para fora, concentricamente uma a outra como mostra a figura. Os pontos W, Q, P e  X estão a distâncias de r, 2r, 3r e 5r do centros das massas.

Sendo G a constante de gravitação universal e as massas das esferas concêntricas respectivamente m, 3m e 4m, calcule em função de m ,r e G a força gravitacional resultante exercida  sobre uma partícula de massa m/4 colocada:

a) no ponto W

b) no ponto Q

c) no ponto P

d) no ponto  X.

 

24) Sendo a aceleração da gravidade na superfície da Terra igual a 10 m/s2, e considerando que conseguiríamos cavar um poço cuja profundidade é de 1/4 do raio terrestre, a aceleração da gravidade no fundo desse posso seria:

a) 20,5 m/s2

d) 15,5 m/s2

c) 12,5 m/s2

d) 7,5 m/s2 x

e) 2,5 m/s2

 

25) Considere M e R  a massa e o raio da Terra respectivamente. Sendo g = GM/R2 a aceleraçao que um corpo fica submetido num local muito próximo do solo (superfície da Terra) e que g = 10 m/s2, determine a aceleração de um corpo:

a) próximo ao fundo de um poço de profundidade igual a 1/3 do raio da  Terra  (resp: 6,67 m/s2);

b) a uma altura equivalente ao dobro do raio da terra  (resp: 1,11 m/s2);

c) a uma distância do centro da terra igual 5 vezes o raio  (resp: 0,4 m/s2);

d) a uma altura igual a 9 vezes o raio da Terra  (resp: 0,1 m/s2).

 

26) Três planetas de mesma massas, por hipótese, giram na mesma trajetória considerada circular de raio r em torno de uma estrela de massa M fixa no centro da circunferência da órbita, mantendo-se sempre (os planetas)  nas posições que seria os vértices de um triângulo equilátero inscrito nesta circunferência.

Determine:

a) o período de revolução dos planetas em função de r, m, G e M;

b) o período de revolução dos plenetas em função de r, m, G e M quando a massa M da estrela tender a zero e os planetas girarem em torno do centro de massa;

c) o período de revolução dos planetas em função de r, m, G e M quando as suas massas são muito pequenas em comparação com a massa da estrela.

d) o período de revolução dos planetas em função de r, m e G, para o caso onde a massa da estrela for 20 vezes maior que as suas massas;

e) o período de revolução dos planetas em função de r, M e G onde a massa de cada planeta for 20 vezes menor que a massa da estrela.

 

27) Suponha que quatro planetas de mesma massas giram na mesma trajetória circular de raio r em torno de uma estrela de massa M fixa no centro da circunferência da órbita, mantendo-se sempre (os planetas) nos vértices de um quadrado inscrito nesta circunferência. A constante de gravitação universal é G.

Determine:

a) o período de revolução dos planetas em função de r, m, G e M;

b) o período de revolução dos plenetas em função de r, m, G e M quando a massa M da estrela tender a zero e os planetas girarem em torno do centro de massa;

c) o período de revolução dos planetas em função de r, m, G e M quando as suas massas são muito pequenas em comparação com a massa da estrela.

d) o período de revolução dos planetas em função de r, m e G, para o caso onde a massa da estrela for 20 vezes maior que as suas massas;

e) o período de revolução dos planetas em função de r, M e G onde a massa de cada planeta for 20 vezes menor que a massa da estrela.

 

28) O período de revolução de um certo número de planetas de massas iguais a m girando na mesma órbita considerada circular em torno de uma estrela central de mass M é dado por T = (12π2r3/3GM + Gm√3)1/2. A trajetória real dos planetas é uma elipse, mas hipoteticamente esta equação é aplicada corretamente para:

I) Um planeta de massa m girando em órbita circular em torno de uma estrela de massa M;

II) dois planetas de massas m cada girando na mesma órbita circular em torno de uma estrela de massa M e mantendo-se em pontos diametralmente opostos;

III) três planetas de massas m girando na mesma órbita circular em torno de uma estrela de massa M e mantendo-se nos vértices de um triângulo equilátero;

III) quatro planetas de massas m girando na mesma órbita circular em torno de uma estrela de massa M e mantendo-se nos vértices de um quadrado.

 

 

29) Calcule o peródo de revolução e a frequência dos planetas mencionados nos itens I, II, III e IV em função de G, M, m e r.

 

30) Sejam M, m, R e T respectivamente a massa do Sol, a massa da Terra, o raio médio da órbita da Terra e o período de translação. Considere, como hipótese, que se o sol perdesse 20% da sua massa o raio médio da órbita da Terra seria dobrado. O novo período de translação seria aproximadamente:

a) 4T

b) 2T

c) 3T

d) 5T

e) n. d. r

 

31) Um pequeno corpo de massa m move-se em MCU em uma trajetória de raio r em torno de outro corpo maior de massa M. Um agente externo faz o corpo pequeno passar para uma órbita de raio R onde continua a movimentar-se em MCU em volta de M. O trabalho exercido por este agente para fazer o corpo mudar de r para R com r <R será:

a) GMm(R - r)/2rR

b)  GMm(r + R)/2rR

c) 3GMm(R + r)/4rR

d) GMm(r.R)/(r + R)

 

32) Um corpo de massa m gira em MCU a uma distância r do centro de um planeta de massa M. Alguns tipos de energia foram medidas do corpo em órbita ou do sistema formado por eles: - GMm/2r, GMm/2r e - GMm/r. As energias encontradas são respectivamente:

a) mecânica, cinética e potencial;

b) cinética, potencial e mecânica;

c) potencial, mecânica e cinética;

d) mecânica, potencial e cinética;

e) potencial, cinética e mecânica.

 

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Nilson